Tenho chance de ganhar na Megassena?

A probabilidade de um apostador ganhar na megassena, com uma aposta simples(aposta com 6 números) é de 1 em 50.063.860, ou seja, não vai ganhar. Claro, estou sendo muito duro com esta afirmação, pois sabemos que alguém, em algum lugar vai ficar milionário. Mas é muito difícil. Sempre digo que o apostador da megassena é um perdedor convicto. Convicto se que algum dia vai ganhar.

Analisando estes apostadores, a probabilidade de alguém ganhar na megassena e lendo um artigo na revista do professor de Matemática (RPM), de Flavio Wagner Rodrigues, - IME – USP,resolvi transcrever o estudo, com algumas pequenas adaptações.

O que realmente significa ter uma chance em mais de cinquenta milhões?

Com o objetivo de fazer com que seus leitores entendam o que significa essa probabilidade tão pequena, os jornalistas pedem que façamos comparações com a possibilidade da ocorrência de outros eventos. É curioso que as comparações solicitadas quase sempre envolvem um evento auspicioso (ganhar o prêmio máximo da Mega Sena) com tragédias tais como morrer em desastre de avião, ser atingido por um raio ou morrer de câncer. A maior dificuldade em fazer essas comparações está no fato de que nem todos os indivíduos da população têm a mesma probabilidade de sofrer uma dessas desgraças, enquanto todos os que apostam 6 números têm a mesma chance de acertar a Mega Sena.

Eu acredito que a maneira mais fácil de fazer as pessoas entenderem é usando outro exemplo puramente aleatório. O número de habitantes do Brasil é quase igual a três vezes o número de resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três prêmios entre toda a população brasileira, a sua chance de ganhar um deles seria igual à de ganhar o prêmio máximo da Mega Sena com um jogo de seis números. No Você sabia? daRPM 41, pág. 29, foi observado que é mais fácil obter 25 caras em 25 lançamentos de uma moeda do que ganhar na Mega Sena com uma aposta de 6 dezenas.

Existe uma forma de apostar que melhore as chances do jogador?

Essa pergunta é geralmente feita na sala de aula por alunos curiosos em saber se o professor conhece algum truque ou algum sistema que preferencialmente garanta a vitória. A análise dos resultados dos sorteios do concurso 0001 (11/03/1996) até o concurso 1077 (27/05/2009) mostra que o número 05 saiu 127 vezes enquanto o número 26 saiu 82 vezes. Isto parece indicar que alguns números são mais sorteados que os outros. Mas isto não diz muito, pois todos os números são igualmente prováveis e os resultados de diferentes sorteios são independentes. Não existem, portanto, elementos que nos permitam construir um sistema que melhore as nossas chances de vitória.

Devo jogar no 05 que é o número que mais vezes foi sorteado, ou no 26, que foi o que saiu menos vezes?

O mesmo argumento usado anteriormente nos leva a afirmar que, do ponto de vista teórico, tanto faz jogar no 05, no 26 ou em qualquer outro número. Agora, se você fizer questão de escolher com base nos resultados de concursos anteriores, eu recomendaria o 05 e não o 26. Isso porque, caso exista uma pequena distorção (que os testes estatísticos não conseguem detectar), tudo indica que ela estaria favorecendo o 13 e não o 48.

No entanto, poderia também recomendar que aposte no 26, pois o número 05 saiu mais vezes e estaria na “hora” de sair a dezena 26, pois todos os números tem a mesma probabilidade de serem sorteados.

Se eu estiver disposto a jogar R$ 49,00 reais, é melhor fazer um único jogo de 8 números ou vinte e oito jogos de 6 números (cada jogo custa R$ 1,75)?

Essa é uma questão interessante, pois, embora as duas formas de jogar sejam equivalentes (supondo 28 jogos distintos de 6 números) no que diz respeito à sena, isso não é verdade com relação à quadra e à quina. De fato, com um único jogo de 8 números existirão resultados possíveis que darão o prêmio da quina ao apostador. Com um único jogo de 6 números, o apostador terá resultados contendo uma quina. Se os vinte e oito jogos não tiverem nenhuma quina em comum, o total de resultados favoráveis será igual a 28 x 324 = 9072. A probabilidade de acertarmos uma quina com o segundo sistema é mais do que três vezes maior do que com o primeiro.

Essa diferença é, pelo menos parcialmente, compensada pelo fato de que, acertando uma quina com o jogo de 8 dezenas, receberemos três vezes o valor do prêmio. Os mesmos cálculos efetuados para a quadra mostram que, com um jogo de 8 dezenas, nós teremos 92 820 resultados favoráveis e com 28 jogos de 6 dezenas (que não tenham quadras em comum) nós teremos 601 020 resultados favoráveis, o que nos dá uma probabilidade que é aproximadamente 6,5 vezes maior. Uma vez mais vale a pena observar que, se acertarmos a quadra com o jogo de 8 dezenas, receberemos 6 vezes o valor do prêmio.

Vale a pena jogar?

Do ponto de vista teórico, é fácil ver que a resposta é não. De fato, você estaria colocando dinheiro num jogo que destina apenas 44% da arrecadação para os prêmios e no qual a sua probabilidade de ganhar alguma coisa que valha a pena é muito pequena. Para aqueles que acreditam na sorte e gostam de arriscar de vez em quando, aí vão algumas sugestões:

a) Nunca aposte muito dinheiro.
De fato, com a aposta de 15 dezenas, que custará R$ 5.005,00, a sua probabilidade de ganhar o prêmio é aproximadamente igual a 1 em 10.000. Portanto, a probabilidade de que você perca o seu dinheiro é bem grande e, se você é capaz de perder R$ 5.005,00 reais sem se importar, você é uma pessoa que não precisa de loterias.

b) Aposte de preferência nos concursos de final zero e cinco.
Nesses concursos você não está contribuindo para o prêmio de futuros apostadores, está concorrendo a um prêmio maior e principalmente está concorrendo a quantias que outros já perderam.

Vamos terminar com um argumento que serve para justificar essa pequena fraqueza de arriscar de vez em quando. Se você pode, sem nenhum sacrifício, dispor de R$ 10,00 reais por semana e decidir guardá-los, você terá, em valores não corrigidos, R$ 540,00 após 1 ano e, consequentemente, R$ 5.400,00 após 10 anos. Com esse procedimento, a probabilidade de que você fique rico é zero. Se você jogar dez reais por semana, a probabilidade de que você fique rico é quase zero, mas não é zero.

A CALCULADORA

Como calcular com exatidão e repetição sem usar o corpo humano?

A primeira máquina de calcular foi o corpo humano. Nessa máquina, o órgão de controle é o cérebro; o motor está nos órgãos vitais dos aparelhos digestivo e circulatório; a transmissão é feita pelos músculos; a ferramenta é representada pelas mãos e os cálculos são feitos pelos dedos. A repetição mecânica de cálculos levou o homem a recriar instrumentos de calcular fora do seu corpo. Surgiram assim as máquinas de calcular que são muito úteis para agilizar os aspectos mais repetitivos da aritmética. Uma vez dominadas as operações aritméticas básicas e conhecidos seus algoritmos, é possível usufruir da comodidade que seu uso oferece. Da utilização dos dedos, passando pelo ábaco, a transferência da máquina de calcular para além do corpo humano completa-se atualmente com a criação do computador. Com ele, o último elemento da máquina humana, o cérebro mecânico, é transferido para um instrumento.

1. O ábaco
É um aparelho digital de cálculo simples que permite realizar todas as operações aritméticas básicas. Consiste, normalmente, de um tabuleiro ou moldura de madeira composto de uma série de dez cordões ou fios paralelos. Nesses fios são enfiadas bolinhas perfuradas, que podem ser movidas livremente.

Figura 1

Cada fio, com sua respectiva fileira de bolas, representa uma casa decimal: unidades, dezenas, centenas e seu número pode variar, como mostra a Figura 1, ao lado. As operações são efetuadas mudando-se a posição de algumas bolas em relação às outras e, através de uma complexa manipulação, pode-se inclusive extrair raízes.

Figura 2

Na antiga Mesopotâmia, os comerciantes já utilizavam o ábaco. Colocavam pedras em uma das fileiras e quando alcançavam a quantidade dez, por exemplo, substituíam estas dez pedras por uma, que era colocada na fileira seguinte, como mostra a Figura 2, ao lado. Marcavam assim as dezenas. No ábaco, cada fileira pode conter tantas bolas quantas unidades tiver o sistema de numeração utilizado.

Assim, em nosso caso que segue o sistema de numeração árabe, cada fileira pode conter até nove bolas.

Figura 3

Observe o exemplo da Figura 3, ao lado, que indica como, usando o ábaco de fileiras da Figura 2, é possível fazermos uma soma.

Cada fileira completa de um ábaco admite até nove bolas. Na Figura 3, o número 306 é indicado por seis bolas na fileira da direita e três na terceira fileira, a partir da direita.

Acrescentando-se seis bolas à fileira da direita, uma bola à do centro e uma à fileira da esquerda, o conteúdo do ábaco aumenta em 116 unidades. Observe que a fileira da direita do ábaco está cheia. Por isso, tiramos dez bolas desta fileira e, em seu lugar, acrescentamos uma bola à fileira do centro, como mostra a Figura 3.

Como não é preciso fazer nenhuma outra operação, já podemos ler o resultado da soma: 422 unidades.

O ábaco também era usado no antigo Egito, de onde foi para a Grécia e para Roma. Além do número de pedras ou botões, os egípcios utilizam ainda as cores em seu ábaco, para facilitar os negócios: as bolas brancas, por exemplo, indicavam o crédito a favor do cliente e as negras registravam os débitos, ou seja, aquilo que hoje se conhece como "o vermelho".

Um pouco diferente, o ábaco romano consistia de um tabuleiro com diversos sulcos paralelos pelos quais deslizavam pedras ou botões. Seu funcionamento, porém, era semelhante ao do ábaco atual. Esta máquina de calcular antido por outros. As civilizações orientais desenvolveram, desde a remota Antiguidade, esta mesma máquina de calcular. Atualmente, na China e no Japão, o ábaco ainda é usado na maioria das operações aritméticas.

Figura 4

Como podemos observar na Figura 4, ao lado, no ábaco sino-japonês existe uma barra transversal dividindo os fios em duas partes, chamadas terra e céu.

Uma bola só adquire valor numérico quando está perto da barra transversal.

Também em alguns países europeus, como a Grã-Bretanha e na zona de influência da antiga União Soviética, ainda se usa o ábaco nas operações comerciais. Além disso, e de forma mais generalizada, ele continua sendo empregado no ensino das operações básicas de aritmética.

2. A calculadora: um ábaco moderno
A calculadora, como sabemos, é um instrumento capaz de realizar cálculos com certo grau de automatismo. Tecnicamente, a definimos como um calculador aritmético ou digital, em que as operações usuais se reduzem a contar. A calculadora, de fato, é a versão moderna do ábaco. Como esses dois instrumentos têm relação próxima, vamos comparar seu funcionamento.

Lembre-se de que o ábaco é organizado na base decimal; assim as suas fileiras podem conter até nove bolas, pois a décima representa uma bola na fileira seguinte.

Figura 5

As calculadoras, por sua vez, contêm condutores elétricos pelos quais passa ou não a corrente. A calculadora só distingue se há ou não corrente num fio, que é o equivalente às fileiras do ábaco.

Portanto, podemos dizer que uma calculadora é uma espécie de ábaco que possui um único local para uma bola em cada sulco. Temos, assim, um cálculo na base dois, em que cada sulco pode conter no máximo uma bola, pois a segunda representa uma bola no sulco seguinte.

Assim, são necessários muitos fios para podermos escrever um número grande (Figura 5, acima).

Figura 6

A partir dessas considerações, vamos agora repetir a soma que efetuamos com o ábaco, mas seguindo as novas regras de funcionamento, como mostra a Figura 6, acima.

As fileiras que acabamos de ver representam o número 306. Observe que precisamos de nove fileiras e não as três que bastavam para o ábaco. A calculadora reconhece este número como 100 110 010, que é o mesmo escrito na base dois.

Figura 7

Recordemos que fileira cheia significa 1 e a vazia, 0.

A calculadora escreve o número 116, representado pelas bolas de cor vermelha, em sua linguagem, ou seja, 1 110 100 (Figura 7, acima).

Acompanhe o processo na Figura 8, abaixo.

	Cor vermelha: bola pertencente ao número 116;
	Cor azul: bola nova resultante da passagem de duas bolas da coluna anterior para a seguinte, à esquerda.

Figura 8

Os impulsos elétricos fazem variar a capacidade condutora das fileiras segundo um princípio de transbordamento de bolas, similar ao que utilizamos no ábaco.

A diferença é que, no ábaco, cada dez bolas eram substituídas por uma da fileira seguinte, à esquerda. Na calculadora, duas bolas numa fileira são imediatamente substituídas por uma na seguinte.

Assim, o novo número, segundo a linguagem da calculadora (que é de base dois), é 110 100 110. Para nós, na base decimal, ele equivale a 422.

3. Uso da calculadora
Antes de apresentar exemplos de uso, é preciso distinguir os diversos tipos de calculadoras existentes no mercado.

Dependendo do tipo de calculadora que usarmos, podemos realizar cálculos de maior ou menor complexidade.

Figura 9

Calculadora convencional

Em geral, existem três tipos de calculadoras: as convencionais, as científicas e as gráficas programáveis. Os cálculos que podemos efetuar com uma calculadora gráfica programável são superiores aos que nos permite uma calculadora científica e, os cálculos desta, muito superiores aos das calculadoras convencionais.

Figura 10

Calculadora gráfica programável

Veja, nas Figuras 9 e 10, exemplos de dois tipos de calculadora a que nos referimos. As características principais dos modelos repetem-se independentemente de suas marcas comerciais.

Vamos desenvolver alguns exercícios simples para nos familiarizar com o uso da calculadora.

Os exemplos são de operações em calculadoras convencionais. Assim, eles poderão ser úteis em todas as outras calculadoras.

Para começar, vamos recordar para que servem algumas teclas que usaremos:

Liga a calculadora ou apaga tudo que foi feito até o momento.

ou Apagam o último dado acrescentado.

Sinais das operações aritméticas básicas.

Cálculo da raiz quadrada.

Cálculo da porcentagem.

Teclas de memória.

Exemplo:

Vejamos como utilizar essas teclas para resolver os seguintes exercícios:

•	Para somar 5 + 2, devemos fazer como indica a Figura 11, abaixo.

Figura 11

•	Queremos somar 10 + 7; mas, por engano, acionamos 10 + 4. Veja como corrigir o erro sem ter de repetir toda a operação:

10 + 4 7 = 17

•

Para todas as outras operações aritméticas, o procedimento será o mesmo que o explicado nos dois casos anteriores, trocando-se apenas o sinal da operação.

•

No cálculo de séries ascendentes, descendentes ou nas tabuadas de multiplicação, as calculadoras permitem utilizar o que se conhece como operador constante. Observe os seguintes exemplos para depois reproduzi-los na calculadora. A repetição do sinal por duas vezes faz com que o primeiro operador da operação fique constante. Considere que, em cor azul, escrevemos tudo aquilo que aparece na tela da calculadora. O restante dos dados nós mesmos teremos de introduzir.

3 X X2 = 6 3 + +3 = 6 10 ­ ­ 1 = 9 3 = 9 = 9 = 8 4 = 12 = 12 = 7

•	Se tivermos de multiplicar 728 X 32 e a teclaestiver estragada, considerando que:

728 X 32 = 728 X (3 X 10 + 2) = 7280 X 3 + 728 X 2

Poderemos agir do seguinte modo:

7 280 + + = = 21 840 728 + + = 1 456 + = 23 296

•	Veja esse problema: Numa concessionária de automóveis foram vendidos, em um ano, os seguintes veículos: 2 carros de 16 mil reais cada; 25 carros de 23 mil reais cada; e 22 carros de 18 mil reais cada. Qual o total de dinheiro arrecadado?

2 X 16 000 32 000 25 X 23 000 575 000 22 X 18 000 396 000 1 003 000

EXERCÍCIOS 1. Imagine que só podemos utilizar as teclas 0, 1, o sinal = e as operações de adição, subtração e multiplicação. Como faríamos para calcular o número 120? 2. Deduza o que a calculadora, da Figura ao lado, apresentará como resultado depois de pressionarmos cada uma das teclas nela indicadas:

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

CONSTRUINDO O CONCEITO DE NÚMERO

Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.

Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.

A idéia de contagem estava relacionada com os dedos da mão.

Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco.

Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.

Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som.

É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.

O NÚMERO NATURAL

Os egípcios criam os símbolos

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio.

Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.

Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.

Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.

Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito.

Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.

Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso?

Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos.

A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.

Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões.

Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.

3 + 5 = 8

Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?

CONTANDO COM OS EGÍPCIOS

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.

Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.

Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil.

O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:

1 10 100 1.000 10.000
100.000 1.000.000

Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.

Um traço vertical representava 1 unidade:

Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:
Um laço valia 100 unidades:
Uma flor de lótus valia 1.000:
Um dedo dobrado valia 10.000:
Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:
Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.

Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.

Se tomarmos um número, como por exemplo:

256

e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes:

265 526 562 625 652

Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número:

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OS PAPIROS DA MATEMÁTICA EGÍPCIA

Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.

O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres.

O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.

A TÉCNICA DE CALCULAR DOS EGÍPCIOS

Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.
Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição.

Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.

13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9

A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:

Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:

1 + 4 + 8 = 13

O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:

9 + 36 + 72 = 117

Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros.

Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.

E para isso os números inteiros não serviam.

DESCOBRINDO A FRAÇÃO

Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...

“... repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda.”

Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. O rio Nilo atravessa uma vasta planície.

Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. Desde a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.

Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.

Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro.

Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.

Usavam cordas para fazer a medição.

Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.

No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.

Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.

Para representar os números fracionários, usavam frações.

AS COMPLICADAS FRAÇÕES EGÍPCIAS

Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1.

Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador.

As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1.

Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.

No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados.

Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade.

Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.

CONTANDO COM OS ROMANOS

De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.

Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios.

Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.

Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana.

Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.

Como foi que os romanos conseguiram isso?

O SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO

Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.

I V X L
C D M

Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?
O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:

I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1.000.

Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.

II = 1 + 1 = 2
XX = 10 + 10 = 20
XXX = 10 + 10 + 10 = 30

Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.

IV = 4 porque 5 - 1 = 4
IX = 9 porque 10 – 1 = 9
XC = 90 porque 100 – 10 = 90

Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.

VI = 6 porque 5 + 1 = 6
XXV = 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX = 60 porque 50 + 10 = 60

Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:

Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.

M = 1.000

Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.

D = 500

Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.

D – C = 500 – 100 = 400

Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.

M + CD = 1.000 + 400 = 1.400

Sobrava apenas o V. Então:

MCDV = 1.400 + 5= 1.405

OS MILHARES

Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.

Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.

E os números maiores que 3.000?

Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.

Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.

Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.

O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema.

Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.

E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.

AFINAL OS NOSSOS NÚMEROS

No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.

Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:

“Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!”.

A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.

A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.

Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.

Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.

Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.

Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

são chamados de algarismos?

OS ÁRABES DIVULGAM AO MUNDO OS NÚMEROS HINDUS

Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.

Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.

Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.

Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.

“Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”.

Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.

Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi.

Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso!

Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.

Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.

Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.

Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo.

São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.

OS NÚMEROS RACIONAIS

Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.

0 13 35 98
1.024 3.645.872

Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais.

Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários.

Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios.

O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.

A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.

A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

Fonte: usuarios.upf.br