A CALCULADORA

Como calcular com exatidão e repetição sem usar o corpo humano?

A primeira máquina de calcular foi o corpo humano. Nessa máquina, o órgão de controle é o cérebro; o motor está nos órgãos vitais dos aparelhos digestivo e circulatório; a transmissão é feita pelos músculos; a ferramenta é representada pelas mãos e os cálculos são feitos pelos dedos. A repetição mecânica de cálculos levou o homem a recriar instrumentos de calcular fora do seu corpo. Surgiram assim as máquinas de calcular que são muito úteis para agilizar os aspectos mais repetitivos da aritmética. Uma vez dominadas as operações aritméticas básicas e conhecidos seus algoritmos, é possível usufruir da comodidade que seu uso oferece. Da utilização dos dedos, passando pelo ábaco, a transferência da máquina de calcular para além do corpo humano completa-se atualmente com a criação do computador. Com ele, o último elemento da máquina humana, o cérebro mecânico, é transferido para um instrumento.

1. O ábaco
É um aparelho digital de cálculo simples que permite realizar todas as operações aritméticas básicas. Consiste, normalmente, de um tabuleiro ou moldura de madeira composto de uma série de dez cordões ou fios paralelos. Nesses fios são enfiadas bolinhas perfuradas, que podem ser movidas livremente.

Figura 1

Cada fio, com sua respectiva fileira de bolas, representa uma casa decimal: unidades, dezenas, centenas e seu número pode variar, como mostra a Figura 1, ao lado. As operações são efetuadas mudando-se a posição de algumas bolas em relação às outras e, através de uma complexa manipulação, pode-se inclusive extrair raízes.

Figura 2

Na antiga Mesopotâmia, os comerciantes já utilizavam o ábaco. Colocavam pedras em uma das fileiras e quando alcançavam a quantidade dez, por exemplo, substituíam estas dez pedras por uma, que era colocada na fileira seguinte, como mostra a Figura 2, ao lado. Marcavam assim as dezenas. No ábaco, cada fileira pode conter tantas bolas quantas unidades tiver o sistema de numeração utilizado.

Assim, em nosso caso que segue o sistema de numeração árabe, cada fileira pode conter até nove bolas.

Figura 3

Observe o exemplo da Figura 3, ao lado, que indica como, usando o ábaco de fileiras da Figura 2, é possível fazermos uma soma.

Cada fileira completa de um ábaco admite até nove bolas. Na Figura 3, o número 306 é indicado por seis bolas na fileira da direita e três na terceira fileira, a partir da direita.

Acrescentando-se seis bolas à fileira da direita, uma bola à do centro e uma à fileira da esquerda, o conteúdo do ábaco aumenta em 116 unidades. Observe que a fileira da direita do ábaco está cheia. Por isso, tiramos dez bolas desta fileira e, em seu lugar, acrescentamos uma bola à fileira do centro, como mostra a Figura 3.

Como não é preciso fazer nenhuma outra operação, já podemos ler o resultado da soma: 422 unidades.

O ábaco também era usado no antigo Egito, de onde foi para a Grécia e para Roma. Além do número de pedras ou botões, os egípcios utilizam ainda as cores em seu ábaco, para facilitar os negócios: as bolas brancas, por exemplo, indicavam o crédito a favor do cliente e as negras registravam os débitos, ou seja, aquilo que hoje se conhece como "o vermelho".

Um pouco diferente, o ábaco romano consistia de um tabuleiro com diversos sulcos paralelos pelos quais deslizavam pedras ou botões. Seu funcionamento, porém, era semelhante ao do ábaco atual. Esta máquina de calcular antido por outros. As civilizações orientais desenvolveram, desde a remota Antiguidade, esta mesma máquina de calcular. Atualmente, na China e no Japão, o ábaco ainda é usado na maioria das operações aritméticas.

Figura 4

Como podemos observar na Figura 4, ao lado, no ábaco sino-japonês existe uma barra transversal dividindo os fios em duas partes, chamadas terra e céu.

Uma bola só adquire valor numérico quando está perto da barra transversal.

Também em alguns países europeus, como a Grã-Bretanha e na zona de influência da antiga União Soviética, ainda se usa o ábaco nas operações comerciais. Além disso, e de forma mais generalizada, ele continua sendo empregado no ensino das operações básicas de aritmética.

2. A calculadora: um ábaco moderno
A calculadora, como sabemos, é um instrumento capaz de realizar cálculos com certo grau de automatismo. Tecnicamente, a definimos como um calculador aritmético ou digital, em que as operações usuais se reduzem a contar. A calculadora, de fato, é a versão moderna do ábaco. Como esses dois instrumentos têm relação próxima, vamos comparar seu funcionamento.

Lembre-se de que o ábaco é organizado na base decimal; assim as suas fileiras podem conter até nove bolas, pois a décima representa uma bola na fileira seguinte.

Figura 5

As calculadoras, por sua vez, contêm condutores elétricos pelos quais passa ou não a corrente. A calculadora só distingue se há ou não corrente num fio, que é o equivalente às fileiras do ábaco.

Portanto, podemos dizer que uma calculadora é uma espécie de ábaco que possui um único local para uma bola em cada sulco. Temos, assim, um cálculo na base dois, em que cada sulco pode conter no máximo uma bola, pois a segunda representa uma bola no sulco seguinte.

Assim, são necessários muitos fios para podermos escrever um número grande (Figura 5, acima).

Figura 6

A partir dessas considerações, vamos agora repetir a soma que efetuamos com o ábaco, mas seguindo as novas regras de funcionamento, como mostra a Figura 6, acima.

As fileiras que acabamos de ver representam o número 306. Observe que precisamos de nove fileiras e não as três que bastavam para o ábaco. A calculadora reconhece este número como 100 110 010, que é o mesmo escrito na base dois.

Figura 7

Recordemos que fileira cheia significa 1 e a vazia, 0.

A calculadora escreve o número 116, representado pelas bolas de cor vermelha, em sua linguagem, ou seja, 1 110 100 (Figura 7, acima).

Acompanhe o processo na Figura 8, abaixo.

	Cor vermelha: bola pertencente ao número 116;
	Cor azul: bola nova resultante da passagem de duas bolas da coluna anterior para a seguinte, à esquerda.

Figura 8

Os impulsos elétricos fazem variar a capacidade condutora das fileiras segundo um princípio de transbordamento de bolas, similar ao que utilizamos no ábaco.

A diferença é que, no ábaco, cada dez bolas eram substituídas por uma da fileira seguinte, à esquerda. Na calculadora, duas bolas numa fileira são imediatamente substituídas por uma na seguinte.

Assim, o novo número, segundo a linguagem da calculadora (que é de base dois), é 110 100 110. Para nós, na base decimal, ele equivale a 422.

3. Uso da calculadora
Antes de apresentar exemplos de uso, é preciso distinguir os diversos tipos de calculadoras existentes no mercado.

Dependendo do tipo de calculadora que usarmos, podemos realizar cálculos de maior ou menor complexidade.

Figura 9

Calculadora convencional

Em geral, existem três tipos de calculadoras: as convencionais, as científicas e as gráficas programáveis. Os cálculos que podemos efetuar com uma calculadora gráfica programável são superiores aos que nos permite uma calculadora científica e, os cálculos desta, muito superiores aos das calculadoras convencionais.

Figura 10

Calculadora gráfica programável

Veja, nas Figuras 9 e 10, exemplos de dois tipos de calculadora a que nos referimos. As características principais dos modelos repetem-se independentemente de suas marcas comerciais.

Vamos desenvolver alguns exercícios simples para nos familiarizar com o uso da calculadora.

Os exemplos são de operações em calculadoras convencionais. Assim, eles poderão ser úteis em todas as outras calculadoras.

Para começar, vamos recordar para que servem algumas teclas que usaremos:

Liga a calculadora ou apaga tudo que foi feito até o momento.

ou Apagam o último dado acrescentado.

Sinais das operações aritméticas básicas.

Cálculo da raiz quadrada.

Cálculo da porcentagem.

Teclas de memória.

Exemplo:

Vejamos como utilizar essas teclas para resolver os seguintes exercícios:

•	Para somar 5 + 2, devemos fazer como indica a Figura 11, abaixo.

Figura 11

•	Queremos somar 10 + 7; mas, por engano, acionamos 10 + 4. Veja como corrigir o erro sem ter de repetir toda a operação:

10 + 4 7 = 17

•

Para todas as outras operações aritméticas, o procedimento será o mesmo que o explicado nos dois casos anteriores, trocando-se apenas o sinal da operação.

•

No cálculo de séries ascendentes, descendentes ou nas tabuadas de multiplicação, as calculadoras permitem utilizar o que se conhece como operador constante. Observe os seguintes exemplos para depois reproduzi-los na calculadora. A repetição do sinal por duas vezes faz com que o primeiro operador da operação fique constante. Considere que, em cor azul, escrevemos tudo aquilo que aparece na tela da calculadora. O restante dos dados nós mesmos teremos de introduzir.

3 X X2 = 6 3 + +3 = 6 10 ­ ­ 1 = 9 3 = 9 = 9 = 8 4 = 12 = 12 = 7

•	Se tivermos de multiplicar 728 X 32 e a teclaestiver estragada, considerando que:

728 X 32 = 728 X (3 X 10 + 2) = 7280 X 3 + 728 X 2

Poderemos agir do seguinte modo:

7 280 + + = = 21 840 728 + + = 1 456 + = 23 296

•	Veja esse problema: Numa concessionária de automóveis foram vendidos, em um ano, os seguintes veículos: 2 carros de 16 mil reais cada; 25 carros de 23 mil reais cada; e 22 carros de 18 mil reais cada. Qual o total de dinheiro arrecadado?

2 X 16 000 32 000 25 X 23 000 575 000 22 X 18 000 396 000 1 003 000

EXERCÍCIOS 1. Imagine que só podemos utilizar as teclas 0, 1, o sinal = e as operações de adição, subtração e multiplicação. Como faríamos para calcular o número 120? 2. Deduza o que a calculadora, da Figura ao lado, apresentará como resultado depois de pressionarmos cada uma das teclas nela indicadas: